매끈한 공간에 대한 수학적 정의(1) : 폰 고흐의 곡선*

 

  매끈한 공간이 홈이 파지는 방법뿐만 아니라 홈에 패인 공간이 다시 매끈한 공간이 되는 방법도 물론 매번 가치, 범위, 기호가 달라지게 된다. 아마 모든 진전(progres)은 홈이 패인 공간에 의해, 그리고 이 공간 안에서 이루어지지만 모든 생성은 매끈한 공간 속에서 일어난다고 말해야 할 것이다. (...) 매끈한 공간에 대한 아주 일반적인 수학적 정의는 가능할까? 만텔브로트의 ‘프랙탈’*은 이에 아주 적합할 것으로 보인다. 프랙탈은 차원 수가 분수 또는 비정수인 집합 또는 차원수가 정수이면서 방향이 연속적으로 변주되는 집합을 가리킨다. (...) 직선 이상이며 평면 이하의 차원수를 가진 폰 고흐(Von Koch) 곡선!

 

 

  _ <천 개의 고원>(p.928~929)

   매끈한 공간에 대한 수학적 정의(2) : 시에르펜스키의 스폰지

 

  평면 이상이며 입체 이하인 차원 수를 가진 시에르펜스키(Sierpensky)의 스폰지! 이 입방체에 구멍을 뚫는 법칙은 직관적으로 한 눈에 파악될 수 있다. 즉 정방형에 파 놓은 구멍 하나하나는 한 변의 3분의 1을 한 변으로 하는 정방형 8개에 의해 둘러싸여 있다. 이들 각 8개의 정방형은 다시 저마다 각각 3분의 1을 한 변으로 하는 정방형 8개에 둘러싸여 있다. 이러한 작업을 무한히 반복한다.

 

  이 그림에서는 계속되는 조작에 의해 점점 세밀해져 가는 구멍을 표현할 수 없으므로 조작을 4회까지만 반복한 상태를 나타내고 있다. 그러나 결국 입방체에는 무수한 구멍이 뚫리게 되며, 체적이 0에 가까워짐과 동시에 파내어진 입방체의 면적이 무한으로 증가한다는 것을 알 수 있다.

 

  이 공간의 차원수는 2.7268이 된다. 이리하여 이 공간은 면(2차원)과 입체(3차원) 사이에 포함되게 된다. 시에르펜스키의 ‘융단’은 이 입방체의 면 하나로, 구멍은 정방형이며 이것의 표면의 차원수는 1.2618이다.

 

 

  _ <천 개의 고원>(p.929)

 

 

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 * 폰 고흐(Von Koch) 곡선

 
  1. 선분 AE
  2. 선분 AE를 3등분해 중앙의 선분을 삼각형 BCD로 바꾼다.
  3. AB, BC, CD, DE의 각 선분 위에서 같은 조작을 반복한다. 이로부터 길이가 같은 선분들의 우툴두툴한 해안선이 생긴다.
  4. 모든 선분에 대해 다시 한 번 2, 3에서 행한 조직을 반복한다.
  5. 모든 선분에 대해 다시 2, 3에서 행한 조작을 반복한다.
  6. 이와 동일한 조작을 무한히 반복한다.
 
  이렇게 반복하면 극한에서는 어떤 점에서도 접선을 갖지 않는 무한수의 각에 의한 곡선을 얻을 수 있다. 이 곡선의 길이는 무한하며 차원수는 1이상이다. 이것은 1.261859(정확하게는 log4/log3) 차원이 된다.

 

 

** 프랙탈(fractal)

 

  프랙탈이란 작은 구조가 전체 구조와 비슷한 형태로 끝없이 되풀이 되는 구조를 말한다. 즉 프랙탈은 부분과 전체가 똑같은 모양을 하고 있다는 "자기 유사성" 개념을 기하학적으로 푼 것으로, 프랙탈은 단순한 구조가 끊임없이 반복되면서 복잡하고 묘한 전체 구조를 만드는 것이다. 프랙탈의 속성은 '자기 유사성(Self-Similarity)'과 '순환성(Recursiveness)'이라는 특징을 가지고 있다. 자연계의 리아스식 해안선, 동물혈관 분포형태, 나뭇가지 모양, 창문에 성에가 자라는 모습, 산맥의 모습도 다 프랙탈이며 우주의 모든 것이 결국은 프랙탈 구조로 되어 있다.

 

  프랙탈이라는 말은 IBM의 Thomas J. Watson 연구센터에 근무했던 프랑스 수학자 만델브로트(Benoit B. mandelbrot) 박사가 1975년 '쪼개다'라는 뜻을 가진 그리스어 '프랙투스(fractus)'에서 따와 처음 만들었다. 만델브로트 박사는 <the nature of geometry fractal>를 출판해 냈는데, 이 책에는 "영국의 해안선 길이가 얼마일까"라는 물음을 던지고 있다. 리아스식 해안선에는 움푹 들어간 해안선안에 굴곡진 해안선이 계속됐고, 자의 눈금 크기에 따라 전체 해안선의 길이가 달라졌기 결과적으로 아주 작은 자를 이용하면 해안선의 길이는 무한대로 늘어나게 되는 것이다. 그는 이처럼 같은 모양이 반복되는 구조를 ‘프랙탈’이라고 부르기 시작했다.