메뉴 건너뛰기

[들뢰즈] 천 개의 고원·52 : 수학적 정의, 프랙탈(fractal)

by 이우 posted Jun 17, 2013 Views 12871
?

단축키

Prev이전 문서

Next다음 문서

크게 작게 위로 아래로 댓글로 가기 인쇄

 

von_koch.jpg

 
매끈한 공간에 대한 수학적 정의(1) : 폰 고흐의 곡선*

 

  매끈한 공간이 홈이 파지는 방법뿐만 아니라 홈에 패인 공간이 다시 매끈한 공간이 되는 방법도 물론 매번 가치, 범위, 기호가 달라지게 된다. 아마 모든 진전(progres)은 홈이 패인 공간에 의해, 그리고 이 공간 안에서 이루어지지만 모든 생성은 매끈한 공간 속에서 일어난다고 말해야 할 것이다. (...) 매끈한 공간에 대한 아주 일반적인 수학적 정의는 가능할까? 만텔브로트의 ‘프랙탈’*은 이에 아주 적합할 것으로 보인다. 프랙탈은 차원 수가 분수 또는 비정수인 집합 또는 차원수가 정수이면서 방향이 연속적으로 변주되는 집합을 가리킨다. (...) 직선 이상이며 평면 이하의 차원수를 가진 폰 고흐(Von Koch) 곡선!

 

 

  _ <천 개의 고원>(p.928~929)


Sierpinski sponge.jpg

   매끈한 공간에 대한 수학적 정의(2) : 시에르펜스키의 스폰지

 

  평면 이상이며 입체 이하인 차원 수를 가진 시에르펜스키(Sierpensky)의 스폰지! 이 입방체에 구멍을 뚫는 법칙은 직관적으로 한 눈에 파악될 수 있다. 즉 정방형에 파 놓은 구멍 하나하나는 한 변의 3분의 1을 한 변으로 하는 정방형 8개에 의해 둘러싸여 있다. 이들 각 8개의 정방형은 다시 저마다 각각 3분의 1을 한 변으로 하는 정방형 8개에 둘러싸여 있다. 이러한 작업을 무한히 반복한다.

 

  이 그림에서는 계속되는 조작에 의해 점점 세밀해져 가는 구멍을 표현할 수 없으므로 조작을 4회까지만 반복한 상태를 나타내고 있다. 그러나 결국 입방체에는 무수한 구멍이 뚫리게 되며, 체적이 0에 가까워짐과 동시에 파내어진 입방체의 면적이 무한으로 증가한다는 것을 알 수 있다.

 

  이 공간의 차원수는 2.7268이 된다. 이리하여 이 공간은 면(2차원)과 입체(3차원) 사이에 포함되게 된다. 시에르펜스키의 ‘융단’은 이 입방체의 면 하나로, 구멍은 정방형이며 이것의 표면의 차원수는 1.2618이다.

 

 

  _ <천 개의 고원>(p.929)

 

 

........................................................................................................


 * 폰 고흐(Von Koch) 곡선

 
  1. 선분 AE
  2. 선분 AE를 3등분해 중앙의 선분을 삼각형 BCD로 바꾼다.
  3. AB, BC, CD, DE의 각 선분 위에서 같은 조작을 반복한다. 이로부터 길이가 같은 선분들의 우툴두툴한 해안선이 생긴다.
  4. 모든 선분에 대해 다시 한 번 2, 3에서 행한 조직을 반복한다.
  5. 모든 선분에 대해 다시 2, 3에서 행한 조작을 반복한다.
  6. 이와 동일한 조작을 무한히 반복한다.
 
  이렇게 반복하면 극한에서는 어떤 점에서도 접선을 갖지 않는 무한수의 각에 의한 곡선을 얻을 수 있다. 이 곡선의 길이는 무한하며 차원수는 1이상이다. 이것은 1.261859(정확하게는 log4/log3) 차원이 된다.

 

 

** 프랙탈(fractal)

 

  프랙탈이란 작은 구조가 전체 구조와 비슷한 형태로 끝없이 되풀이 되는 구조를 말한다. 즉 프랙탈은 부분과 전체가 똑같은 모양을 하고 있다는 "자기 유사성" 개념을 기하학적으로 푼 것으로, 프랙탈은 단순한 구조가 끊임없이 반복되면서 복잡하고 묘한 전체 구조를 만드는 것이다. 프랙탈의 속성은 '자기 유사성(Self-Similarity)'과 '순환성(Recursiveness)'이라는 특징을 가지고 있다. 자연계의 리아스식 해안선, 동물혈관 분포형태, 나뭇가지 모양, 창문에 성에가 자라는 모습, 산맥의 모습도 다 프랙탈이며 우주의 모든 것이 결국은 프랙탈 구조로 되어 있다.

 

  프랙탈이라는 말은 IBM의 Thomas J. Watson 연구센터에 근무했던 프랑스 수학자 만델브로트(Benoit B. mandelbrot) 박사가 1975년 '쪼개다'라는 뜻을 가진 그리스어 '프랙투스(fractus)'에서 따와 처음 만들었다. 만델브로트 박사는 <the nature of geometry fractal>를 출판해 냈는데, 이 책에는 "영국의 해안선 길이가 얼마일까"라는 물음을 던지고 있다. 리아스식 해안선에는 움푹 들어간 해안선안에 굴곡진 해안선이 계속됐고, 자의 눈금 크기에 따라 전체 해안선의 길이가 달라졌기 결과적으로 아주 작은 자를 이용하면 해안선의 길이는 무한대로 늘어나게 되는 것이다. 그는 이처럼 같은 모양이 반복되는 구조를 ‘프랙탈’이라고 부르기 시작했다.



  1. 14
    Jul 2013
    23:56

    [사진] 사진으로 보는 자본의 구조

    1900년대 초 미국은 자본주의 초기였다. 많은 사람이 일자리를 찾아 도시로 몰려들어 빈민으로 전락했고 그들은 열악한 노동환경에서 낮은 임금을 받고 일할 수밖에 없었다. 시카고 대학에서 사회학과 경제학을 전공하였으며 1901년 뉴욕으로 이주하여 학생들...
    Category예술 By이우 Views15210 file
    Read More
  2. 13
    Jul 2013
    19:24
    No Image

    [사진] 사진, 생을 닮은 사각의 프레임

    사진, 생을 닮은 사각의 프레임 진동선* 경멸과 찬사, 그 경계에 서다 사진이 발명되었을 때 사람들은 참 많이 놀랐다. 세상 저쪽에 있는 것이 순간에 이쪽으로 날아왔기 때문이다. 모두들 마법을 부린 것으로 생각했다. 그래서 사진기를 마법 상자로, 사진가...
    Category예술 By이우 Views10280
    Read More
  3. 17
    Jun 2013
    23:19
    No Image

    [바디우] 조건들·01 : 들뢰즈 Vs 바디우

    들뢰즈 Vs 바디우(1) 철학을 정의하는 두 가지 방식이 있다. 하나는 묘사적이고 하나는 정립적이다. 질 들뢰즈는 묘사적 방식의 사례를 이룬다. 철학적 노동을 벌거벗긴 뒤, 그로부터 철학 자체의 고유한 특질을 도출시키기 때문이다. 바디우는 정립적 방식의...
    Category철학 By이우 Views12387
    Read More
  4. 17
    Jun 2013
    23:16
    No Image

    [들뢰즈] 천 개의 고원·54 : 홈 파기와 매끈하게 하기

    우리의 관심을 끄는 것은 홈 파기와 매끈하게 하기라는 조작에서의 다양한 이행과 조합이다. 즉 어떻게 공간은 그 안에서 행사되는 힘들에 구속되어 있으면서도 끊임없이 홈이 파이는 것일까? 또 어떻게 공간은 이 과정에서 다른 힘들을 발전시켜 이러한 홈 ...
    Category철학 By이우 Views10824
    Read More
  5. 17
    Jun 2013
    23:14
    No Image

    [들뢰즈] 천 개의 고원·53 : 노동

    원시사회·고대사회의 노동 국가 장치와 잉여 노동이 없는 곳에는 노동-모델도 없다. 그러한 곳에서는 오히려 말에서 행동으로, 이러한 행동에서 저런 행동으로, 행동에서 노래로, 노래에서 말로, 말에서 계획으로, 이런 식으로 이상한 반음계에 따라 이동하는...
    Category철학 By이우 Views11296
    Read More
  6. 17
    Jun 2013
    23:11

    리만의 삼각형

    ↑ 리만은 내각이 합이 270도인 삼각형을 계산해 냈다. 1854년 독일 괴팅겐 대학의 교수들 앞에서 서구 3,000년 철학사와 유클리트 기하학, 유클리트적 우주관을 깨는 유명한 강의가 행해졌다. 이 강의가 바로 물리학사에서 중요한 '기하학의 기본 가설에 대하...
    Category철학 By이우 Views23055 file
    Read More
  7. 17
    Jun 2013
    23:07

    [들뢰즈] 천 개의 고원·52 : 수학적 정의, 프랙탈(fractal)

    매끈한 공간에 대한 수학적 정의(1) : 폰 고흐의 곡선* 매끈한 공간이 홈이 파지는 방법뿐만 아니라 홈에 패인 공간이 다시 매끈한 공간이 되는 방법도 물론 매번 가치, 범위, 기호가 달라지게 된다. 아마 모든 진전(progres)은 홈이 패인 공간에 의해, 그리...
    Category철학 By이우 Views12871 file
    Read More
  8. 17
    Jun 2013
    23:02

    [들뢰즈] 천 개의 고원·51 : 이동

    ↑ 어떤 의미에서 유목민은 이동하지 않는다고 말할 수 있다. 그들이 움직여도 그들은 여전히 매끄러운 공간 속에 있기 때문이다. 우리는 사막이나 스텝, 바다에서도 홈을 파고 살 수 있고, 홈 패인 도시에서조차 매끄럽게 살 수 있다. | Canon EOS 5D | 서울...
    Category철학 By이우 Views10758 file
    Read More
  9. 17
    Jun 2013
    22:59

    [들뢰즈] 천 개의 고원·50 : 통합

    ↑ 자본주의의 공리계는 자신이 절멸시키고 싶은 것을 끊임없이 생산한다. 급박한 경제 문제를 해결하면, 또 다른 소수자가 생겨나며, 소수자를 뿌리 뽑아도 또 다른 소수자가 생겨난다. 그래서, 통합을 통해 소수자 문제가 해결되는 경우는 없다. 공리계는 무...
    Category철학 By이우 Views9936 file
    Read More
  10. 17
    Jun 2013
    22:56

    [들뢰즈] 천 개의 고원·49 : 전쟁과 평화

    ↑ 터키 반정부 시위의 빌미 가운데 하나는 “새로운 공리의 부가", <주류 규제 강화법안>. 시위대는 정부가 정부에 대한 비판과 다양한 삶의 형태를 인정하지 않고 있다고 말하고 있다. 시위 초반 정부는 시위대를 '극단주의자와 '약탈자'라고 비난하며 '평화...
    Category철학 By이우 Views10174 file
    Read More
  11. 17
    Jun 2013
    22:53

    [들뢰즈] 천 개의 고원·48 : 공리의 부가와 제거

    ↑ 요즘 우리 사회에는 새로운 공리가 부가되고 있다. 흡연금지법과 담뱃값 인상. 정확하게는, 담배에 부과하는 세금의 인상. 자본주의의 공리들은 분명히 정치적 명제나 이데올로기적 공식이 아니라 자본의 기호론적인 형태를 만들고 생산, 유통, 소비의 배치...
    Category철학 By이우 Views27636 file
    Read More
  12. 17
    Jun 2013
    22:47

    [들뢰즈] 천 개의 고원·47 : 폭력

    ↑ 철거민 농성자 5명과 경찰특공대원 1명의 목숨을 앗아간 용산참사가 일어난 지 4년이 되지만, 철거민과 희생자 가족은 여전히 진상규명과 책임자 처벌을 요구하며 긴 투쟁을 이어가고 있다. 자본주의적 생산양식 내부에 포섭되어 있는 한 훔치는 자가 누구...
    Category철학 By이우 Views9975 file
    Read More
  13. 17
    Jun 2013
    22:46
    No Image

    [들뢰즈] 천 개의 고원·46 : 포획 장치

    1. 축적은 토지와 종자, 연장, 금전이라는 세 측면을 동시에 갖고 있다. 축적된 영토가 토지가 되며, 축적된 활동이 연장이 되며, 축적된 교환이 금전이 된다. 그러나 축적은 영토, 활동, 교환 어디로부터도 오지 않는다. 축적은 이와 전혀 다른 배치를 가리...
    Category철학 By이우 Views26194
    Read More
  14. 17
    Jun 2013
    22:44
    No Image

    [들뢰즈] 천 개의 고원·45 : 세금

    지대와 이윤 외에도 세 번째 포획 장치, 즉 세금이 있다. 이 세 번째 형태와 그것의 창조적인 힘을 이해하려면 먼저 상품을 생산하는 내적인 관계를 이해하지 않으면 안 된다. 빌(Edourd Will)은 그리스의 폴리스, 특히 코린트의 폭정과 관련해 화폐는 교환이...
    Category철학 By이우 Views9945
    Read More
  15. 17
    Jun 2013
    22:43
    No Image

    [들뢰즈] 천 개의 고원·44 : 교환

    자본주의가 하나의 공리계(즉, 시장을 위한 생산)를 발전시킴에 따라 모든 국가와 사회구성체들은 실현 모델이라는 측면에서 동형적인 것이 되는 경향이 있다. 중심에는 단 하나의 세계 시장, 즉 자본주의 시장만이 있고 사회주의라 불리는 나라들조차 이 시...
    Category철학 By이우 Views10256
    Read More
  16. 17
    Jun 2013
    22:42
    No Image

    [들뢰즈] 천 개의 고원·43 : 포획

    국가는 다양한 점의 집합을, 즉 아주 특수하며 서열상으로는 아주 다양한 지리적, 인종적, 언어적, 도덕적, 경제적, 기술적 점들을 공명시킨다. 도시가 농촌과 공명하도록 만든다. 그리고 성층 작용에 의해 작동한다. 즉 수평적인 선들의 내부를 상하로 가로...
    Category철학 By이우 Views10005
    Read More
  17. 17
    Jun 2013
    22:40
    No Image

    [들뢰즈] 천 개의 고원·42 : 전쟁기계

    파시즘 이후의 형태. 이것은 <공포>의 평화 또는 <생존>의 평화로서, 평화를 직접적인 목표로 삼는 전쟁기계이다. 이 전쟁기계는 지금 지구 전체를 통제하고 이를 둘러싸고 있는 매끈한 공간을 형성하고 있다. 총력전 자체를 초월해 훨씬 더 무시무시한 형태...
    Category철학 By이우 Views10518
    Read More
  18. 17
    Jun 2013
    22:38
    No Image

    [들뢰즈] 천 개의 고원·41 : 양가성

    의문의 여지없이 국가 장치는 군대에 규율을 부여하고 노동을 기본 단위로 만듦으로써, 다시 말해 국가 장치에 고유한 특질을 강요함으로써 모든 체제를 획일화하려고 한다. 그러나 무기와 도구가 새로운 변신의 배치에 흡수되면 얼마든지 다른 결연 관계를 ...
    Category철학 By이우 Views14873
    Read More
  19. 17
    Jun 2013
    22:37
    No Image

    [들뢰즈] 천 개의 고원·40 : 금은 세공품

    금은 세공품이 이전에는 유목민 예술이었거나 소수자 예술 속에 들어 있는 것이었다. 옷의 장식용 고리, 금은 장식판, 수 많은 보석들이 이동 가능한 작은 물체에 붙여진다. 이것들은 단순히 운반하기 쉬울 뿐만 아니라 오직 뭔가 움직이는 것에 속해 있을 때...
    Category철학 By이우 Views20224
    Read More
  20. 17
    Jun 2013
    22:35
    No Image

    [들뢰즈] 천 개의 고원·39 : 배치

    배치는 정념적이며 욕망의 편성이다. 욕망은 자연적이고 자발적으로 결정되는 것이 아니라 배치하고 배치되는 것이자 기계적인 것이다. 배치의 합리성이나 효율성은 이러한 배치가 유도하는 정념들 없이는, 또 이러한 배치를 구성하는 동시에 이러한 배치에 ...
    Category철학 By이우 Views9590
    Read More
Board Pagination Prev 1 ... 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Next
/ 25
위로